Изменение состава сплава

МеталлыДовольно часто ювелир сталкивается с задачей, как из одного сплава получить другой. Вот несколько простых примеров:

  • как получить золото 585 пробы из золота 750 пробы?
  • как перевести зеленое золото в красное той же пробы, не прибегая к аффинажу?
  • как повысить 875 пробу серебра до 925?
  • как сделать припой из сплава более высокой пробы?

Используя формулы, полученные в этой статье, вы можете легко посчитать, чего и сколько нужно добавить в исходный сплав, чтобы получить необходимый.

Итак, задача следующая: есть исходный сплав известного состава, и необходимо определить состав добавки к нему. Для удобства применения полученных формул, состав добавки будем определять относительно массы исходного сплава. Проще говоря, сколько чего «положить на грамм».

Дано:

a_i — исходный состав сплава, т.е., список долей каждого из компонентов (i принимает значения от 1 до N, где N — число компонентов сплава, при этом сумма всех долей равна единице);
r_i — результирующий состав сплава.

Найти:

x_i — массы компонентов добавки относительно исходной массы сплава.

Обозначения:

m_0 — исходная масса сплава;
Delta m— масса добавки;
y_i — состав добавки (аналогично a_iи r_i).

Решение:

Приращение массы каждого компонента:
Delta m_i = r_i (m_0 + Delta m)~-~a_i m_0   (1)   , отсюда состав добавки (y_i = {Delta m_i}/{Delta m}):
y_i = r_i + {{Delta a_i} m_0}/{Delta m}   (2)   , где Delta a_i = r_i~-~a_i — приращение доли компонента.
Мы получили систему из N уравнений с N+1 неизвестным (y_iи Delta m).
Исходя из того, что сумма долей компонентов для каждого сплава равна единице, сумма приращений этих долей должна равняться нулю: sum{1}{N}{Delta a_i} = 0. Следовательно, хотя бы одно из значений Delta a_i — отрицательно, обозначим его как Delta a_k. Для него существует значение, при котором y_k = 0. В этом случае мы избавляемся от одного из неизвестных и находим Delta m из уравнения (2): Delta m = {delim{|}{Delta a_k}{|}/r_k} m_0   (3).
Далее находим состав добавки относительно исходной массы: x_i = {Delta m_i}/m_0, разделив обе части уравнения (1) на m_0 и подставив значение Delta m из (3):

x_i = {Delta a_i} + k r_i   ,     где k = {delim{|}{Delta a_k}{|}/r_k}     (4)

Формула (4) и есть решение нашей задачи. Однако, это еще не всё. Ведь не исключено, что среди значений {Delta a_i} отрицательными окажутся сразу несколько. Тогда какое из них выбрать?
Обозначим альтернативное отрицательное значение как Delta a_alt. Для этого компонента решение: x_alt = {Delta a_alt} + {delim{|}{Delta a_k}{|}/r_k} r_alt. Поскольку {Delta a_alt} < 0, то и всё выражение может оказаться отрицательным, что для нас не допустимо. Чтобы этого не случилось, должно выполняться неравенство: delim{|}{Delta a_alt}{|} <= {delim{|}{Delta a_k}{|}/r_k} r_alt или {delim{|}{Delta a_k}{|}/r_k} >= {delim{|}{Delta a_alt}{|}/r_alt}. Таким образом, для решения должен быть выбран компонент с максимальным значением {delim{|}{Delta a_i}{|}/r_i} среди всех компонентов с отрицательными {Delta a_i}.

Сдается мне, что я вас слегка загрузил, и теперь хочу показать, что на практике всё далеко не так страшно.

Примеры расчетов

1. Получение желтого золотого сплава 750 пробы из красного 585

tabular{11111}{11111}{{} Au Ag Cu a_i {0,585} {0,080} {0,335} r_i {0,750} {0,125} {0,125} {Delta a_i} {0,165} {0,045} {-0,21}}
Замечаем отрицательное значение {Delta a_i} у меди. Из столбца меди выбираем Delta a_k = -0,21 и r_k = 0,125. Вычисляем k = {0,21} / {0,125} = 1,68. Теперь в формулу (4) поочередно подставляем числа из всех трех столбцов и получаем:
x_1 = 0,165 + 1.68 * 0,75 = 1,425;
x_2 = 0,045 + 1.68 * 0,125 = 0,255;
x_3 = -0,21 + 1.68 * 0,125 = 0 (как ни странно :)).
Т.е., на 1 грамм исходного сплава нужно добавить 1,425 г золота и 0,255 г серебра.

2. Получение красного золотого сплава 585 пробы из зеленого 585

tabular{11111}{11111}{{} Au Ag Cu a_i {0,585} {0,300} {0,115} r_i {0,585} {0,080} {0,335} {Delta a_i} {0} {-0,22} {0,22}}
Замечаем отрицательное значение {Delta a_i} у серебра. Из столбца серебра выбираем Delta a_k = -0,22 и r_k = 0,08. Вычисляем k = {0,22} / {0,08} = 2,75. Теперь в формулу (4) поочередно подставляем числа из всех трех столбцов и получаем:
x_1 = 0 + 2,75 * 0,585 = 1,609;
x_2 = -0,22 + 2,75 * 0,08 = 0; (как и следовало ожидать)
x_3 = 0,22 + 2,75 * 0,335 = 1,141.
Т.е., на 1 грамм исходного сплава нужно добавить 1,609 г золота и 1,141 г меди.

3. Повышение пробы серебра с 875 до 925

tabular{11111}{1111}{{} Ag Cu a_i {0,875} {0,125} r_i {0,925} {0,075} {Delta a_i} {0,05} {-0,05} {0,235}}
Из столбца меди выбираем Delta a_k = -0,05 и r_k = 0,075. Вычисляем k = {0,05} / {0,075} = 0,667. Из формулы (4) получаем:
x_1 = 0,05 + 0,667 * 0,925 = 0,667;
x_2 = -0,05 + 0,667 * 0,075 = 0;
Т.е., на 1 грамм исходного сплава нужно добавить 0,667 г серебра.

4. Получение красного золотого сплава 585 пробы из зеленого 750 (пример с выбором из двух вариантов)

tabular{11111}{11111}{{} Au Ag Cu a_i {0,750} {0,200} {0,050} r_i {0,585} {0,080} {0,335} {Delta a_i} {-0,165} {-0,12} {0,285}}
Здесь два отрицательных значение {Delta a_i}: у золота и у серебра. Тобы выбрать между ними, вычисляем k_1 = {0,165} / {0,585} = 0,282 и k_2 = {0,12} / {0,08} = 1,5. Второе значение больше, поэтому решаем по столбцу серебра:
x_1 = -0,165 + 1,5 * 0,585 = 0,713;
x_2 = -0,12 + 1,5 * 0,08 = 0;
x_3 = 0,285 + 1,5 * 0,335 = 0,788.
Т.е., на 1 грамм исходного сплава нужно добавить 0,713 г золота и 0,788 г меди.

5. Получение золотого припоя 585 пробы из золота 750 пробы

tabular{11111}{1111111}{{} Au Ag Cu Zn Cd a_i {0,750} {0,125} {0,125} 0 0 r_i {0,585} {0,150} {0,200} {0,030} {0,035} {Delta a_i} {-0,165} {0,025} {0,075} {0,030} {0,035}}
ЗначенияDelta a_k и r_k выбираем из столбца золота, подставляем в формулу (4) и находим:
tabular{111}{1111111}{{} Au Ag Cu Zn Cd x_i {0} {0,067} {0,131} {0,038} {0,045}}

Методы расчетов

Мыслятся следующие несколько методов расчета:

  • вычисления «столбиком», если кто-то еще помнит, как это делается;
  • вычисления при помощи калькулятора;
  • применение электронных таблиц;
  • заставить кого-нибудь посчитать;
  • использовать мою программу Alloy и забыть навсегда про все эти формулы. Этот алгоритм реализован в обеих версиях программы:
Обсуждение (22)
  1. алексей:

    сколько нужно добавить меди грамм на 100грамм серебра 999прбы чтобы получилось 925проба

  2. ирина:

    доброго времени суток.вопрос не по теме статьи,но по фото к статье))подскажите,что с чем и в каких пропорциях смешать,чтоб получился припой медного цвета,как на фото?

    • Боюсь Вас огорчить, но невозможно получить цвет чистой меди, какие металлы ни смешивай. На снимке — чистые металлы: золото, серебро, медь, цинк и кадмий. Цвет меди — самый интенсивный, и поэтому, что к ней ни добавляй, цвет будет только бледнеть и желтеть. А металла, который имел бы еще более яркую окраску, чем медь, в природе не существует.

  3. ирина:

    благодарю за разъяснения.очень жаль,конечно.т.е. максимум,что я могу использовать- это или золотой припрой,который «розоватый»(так он в таблицах у Вас обозначался),и он на меди будет слегка отличаться по цвету,или жосткий медно-фосфорный припой?

    • Если Вы собираетесь паять медь (а иначе — зачем Вам цвет меди?), то совсем не нужно тратиться на золото. Достаточно добавить к меди немного цинка, чтобы понизить температуру плавления, или взять готовую латунь и добавить в нее немного меди, чтобы стала более красной.
      Но в любом случае припой получится довольно твердый и желтоватый. Точнее не могу сказать, не пробовал, а с медно-фосфорными припоями вообще дела не имел.

      • ирина:

        да,Вы совершенно правы-собираюсь медь паять)) искала для неё припой,чтоб был мягкий и текучий.попробую то,что Вы посоветовали.в ювелирном деле я ещё оччень начинающая,а в пайке тем более)

        • Медь можно паять латунью. А лучше — серебряным припоем, поскольку совпадения по цвету все равно не удастся достичь, но зато серебряные припои более легкоплавки и текучи, чем латунь, а стоят не намного дороже.
          Есть серебряные припои с низким содержанием серебра: ПСр37, ПСр40 (посмотрите в сети их состав, у меня на сайте их нет, так как в ювелирном деле они не используются), думаю, они Вам подойдут.
          А чтобы швы были незаметны, нужно просто более тщательно их подгонять.

  4. ирина:

    пока серебром и паяю.над подгонкай деталей ещё ,конечно , работать))но есть такие конструктивные узлы,что припой всё равно виден,как не подгоняй..вот и озадачилась.

  5. Сергей Иванович:

    Ирина здравствуйте. Может попробовать добиться нужного цвета изделия (уже готового) методом гальваники. Это мои предположения…

  6. миша:

    Здравствуйте, сколько нужно добавить к чистому золоту весом 4.73 гр. серебра и меди чтобы получилось 750 проба цвета зелёного, помогите пожалуйста, а то никак не получается, заранее спасибо!

  7. миша:

    Огромное спасибо Владимир, я только начинаю познавать ювелирное дело и мне ещё долго придётся учится.

  8. павел:

    столько ненужных формул почему проще нельзя все сделать. написали бы пример и все. какие это формулы зачем они непонятно.

    • 1. Я привел пять примеров применения этих формул.
      2. Я написал и выложил на сайте программу, которая использует эти формулы, избавляя Вас от необходимости в них вникать.
      3. Если Вы знаете более простой способ решения этой задачи, — поделитесь. Я опубликую Ваш, а свои «ненужные формулы» выкину.

  9. Пётр:

    Здравствуйте. Немного запутался в коэффициентах: в этой статье при повышении пробы серебра с 875 до 925 коэфф.=0,667, а в статье «Простое повышение / понижение пробы» коэфф.=0,676. Да, и повышать пробу придется серебром 999, это где-то в формулах учитывается?

    • Здравствуйте! Ваш второй вопрос как раз и отвечает на первый. В этой статье приведен пример повышения пробы чистым серебром, а в той — серебром пробы 999, — отсюда и разница.
      По формулам этой статьи рассчитывается добавка, состоящая именно из чистых металлов. А чтобы учесть пробу 999, нужно обратиться к статье «Получение из двух сплавов третьего», где взять состав первого сплава: Ag-875, Cu-125, Zn-0; второго сплава: Ag-999, Cu-1, Zn-0 и результирующего сплава: Ag-925, Cu-75, Zn-0 (цинк нужен как третий компонент, см. статью) — и Вы получите тот же результат, что и в статье «Простое повышение / понижение пробы», но расчет будет значительно сложнее.
      А максимально просто решаются эти задачи при помощи программы Alloy, которую я уже устал всем рекомендовать. (Видимо людей останавливает астрономическая сумма, сопоставимая с ценой бутылки водки.)

      • Пётр:

        Добрый день. Большое спасибо за ответ. Как раз и сравнение подсчёта по программе и по статье меня и запутал :). А про цену программы я вообще ничего не знаю, считал по on-line версии. Кстати,не могли бы вы послать на почту условия покупки и цену софта.

  10. Александр:

    Здравствуйте. Хочу Вас поблагодарить за Ваш труд, все собрано в одном месте и не надо шерстить интернет для расчетов. Все просто и понятно. Успехов Вам!

Поделитесь своим мнением
Для оформления сообщений Вы можете использовать следующие тэги:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>