Изменение состава сплава

Довольно часто ювелир сталкивается с задачей, как из одного сплава получить другой. Вот несколько простых примеров:

• как получить золото 585 пробы из золота 750 пробы?
• как перевести зеленое золото в красное той же пробы, не прибегая к аффинажу?
• как повысить 875 пробу серебра до 925?
• как сделать припой из сплава более высокой пробы?

Используя формулы, полученные в этой статье, вы можете легко посчитать, чего и сколько нужно добавить в исходный сплав, чтобы получить необходимый.

Итак, задача следующая: есть исходный сплав известного состава, и необходимо определить состав добавки к нему. Для удобства применения полученных формул, состав добавки будем определять относительно массы исходного сплава. Проще говоря, сколько чего «положить на грамм».

Дано:

— исходный состав сплава, т.е., список долей каждого из компонентов (i принимает значения от 1 до N, где N — число компонентов сплава, при этом сумма всех долей равна единице);
— результирующий состав сплава.

Найти:

— массы компонентов добавки относительно исходной массы сплава.

Обозначения:

— исходная масса сплава;
— масса добавки;
— состав добавки (аналогично и ).

Решение:

Приращение массы каждого компонента:
  (1)   , отсюда состав добавки ():
  (2)   , где — приращение доли компонента.
Мы получили систему из N уравнений с N+1 неизвестным (и ).
Исходя из того, что сумма долей компонентов для каждого сплава равна единице, сумма приращений этих долей должна равняться нулю: . Следовательно, хотя бы одно из значений — отрицательно, обозначим его как . Для него существует значение, при котором . В этом случае мы избавляемся от одного из неизвестных и находим из уравнения (2):   (3).
Далее находим состав добавки относительно исходной массы: , разделив обе части уравнения (1) на и подставив значение из (3):

Формула (4) и есть решение нашей задачи. Однако, это еще не всё. Ведь не исключено, что среди значений отрицательными окажутся сразу несколько. Тогда какое из них выбрать?
Обозначим альтернативное отрицательное значение как . Для этого компонента решение: . Поскольку , то и всё выражение может оказаться отрицательным, что для нас не допустимо. Чтобы этого не случилось, должно выполняться неравенство: или . Таким образом, для решения должен быть выбран компонент с максимальным значением среди всех компонентов с отрицательными .

Сдается мне, что я вас слегка загрузил, и теперь хочу показать, что на практике всё далеко не так страшно.

Примеры расчетов

1. Получение желтого золотого сплава 750 пробы из красного 585

Замечаем отрицательное значение у меди. Из столбца меди выбираем и . Вычисляем . Теперь в формулу (4) поочередно подставляем числа из всех трех столбцов и получаем:
;
;
(как ни странно :)).
Т.е., на 1 грамм исходного сплава нужно добавить 1,425 г золота и 0,255 г серебра.

2. Получение красного золотого сплава 585 пробы из зеленого 585

Замечаем отрицательное значение у серебра. Из столбца серебра выбираем и . Вычисляем . Теперь в формулу (4) поочередно подставляем числа из всех трех столбцов и получаем:
;
; (как и следовало ожидать)
.
Т.е., на 1 грамм исходного сплава нужно добавить 1,609 г золота и 1,141 г меди.

3. Повышение пробы серебра с 875 до 925

Из столбца меди выбираем и . Вычисляем . Из формулы (4) получаем:
;
;
Т.е., на 1 грамм исходного сплава нужно добавить 0,667 г серебра.

4. Получение красного золотого сплава 585 пробы из зеленого 750 (пример с выбором из двух вариантов)

Здесь два отрицательных значение : у золота и у серебра. Тобы выбрать между ними, вычисляем и . Второе значение больше, поэтому решаем по столбцу серебра:
;
;
.
Т.е., на 1 грамм исходного сплава нужно добавить 0,713 г золота и 0,788 г меди.

5. Получение золотого припоя 585 пробы из золота 750 пробы

Значения и выбираем из столбца золота, подставляем в формулу (4) и находим:

Методы расчетов

Мыслятся следующие несколько методов расчета:

• вычисления «столбиком», если кто-то еще помнит, как это делается;
• вычисления при помощи калькулятора;
• применение электронных таблиц;
• заставить кого-нибудь посчитать;
• использовать мою программу Alloy и забыть навсегда про все эти формулы. Этот алгоритм реализован в обеих версиях программы:
  • в упрощенном виде в онлайн-версии
  • в более полном и удобном виде в оффлайн-версии

Похожие записи

• 

  Получение из двух сплавов третьего

• 

  Простое повышение / понижение пробы

• 

  Расчет состава нового сплава