Получение из двух сплавов третьего

Рассмотрим более сложную задачу: имеется два сплава известного состава. Как из них получить третий необходимый нам сплав? В общих словах — в каких пропорциях взять эти сплавы и чего и сколько к ним добавить. Решение такого рода задач помогает ювелиру пустить в дело остатки каких-то экзотических сплавов, не прибегая к аффинажу, и минимизировать при этом расход чистых металлов. Например:

• как получить золото 750 пробы из золота 585 пробы и монеты 900 пробы?
• как сделать серебряный припой из серебра заданной пробы и латуни?
• как сделать золотой припой из коронок и золота 585 пробы?

Для удобства вычислений и использования полученных формул все массы будем измерять в относительных единицах, а именно, по отношению к массе первого сплава.

Дано:

— состав первого сплава, то есть, список долей каждого из компонентов (i принимает значения от 1 до N, где N — число компонентов сплава, при этом сумма всех долей равна единице);
— состав второго сплава;
— состав результирующего сплава.

Найти:

— массы компонентов добавки (относительно массы первого сплава);
— массу второго сплава (относительно массы первого сплава);

Обозначения:

— масса добавки (относительно массы первого сплава);
— состав добавки (аналогично , и ).

Решение:

Состав результирующего сплава: , отсюда состав добавки ():   (1)   .
Мы получили систему из N уравнений с N+2 неизвестными (, и ). Для того, чтобы существовало единственное решение, необходимо добавить еще два каких-то условия.
Например, для нас было бы полезно, если бы в составе добавки отсутствовали какие-нибудь два компонента (это поможет сэкономить на чистых металлах). Выберем компоненты с номерамии n и m. Условие их отсутствия выглядит как . Отсюда получаем систему из двух уравнений:
;       (2)

Решив эту систему, получим
  (3);       (4).
Подставив эти значения в (1), мы получим искомые .
Формально задача решена, но на практике мы обнаруживаем некоторые неприятные нюансы.
Во-первых, значение определителя системы (2) может оказаться равным нулю, что приведет к невозможности вычислить значения y и z. Во-вторых, в некоторых случаях искомые величины могут принимать отрицательные значения, что для нас не допустимо, поскольку мы можем только что-то добавлять в сплав, но никак не вычитать.
Во всех этих случаях следует изменить хотя бы один из номеров n и m, то есть, выбрать другую пару компонентов добавки, которые мы хотим свести к нулю.

Примеры

1. Получение желтого золотого сплава 750 пробы из красного 585 и монеты 900 пробы

Выбираем n=1, m=3 и по формулам (3), (4) и (1) получаем результат: на 1 г первого сплава нужно добавить 4,75 г второго и 0,73 г серебра:

Теперь попробуем выбрать n=1 и m=2. В результате получаем отрицательные веса:

То есть, при таком выборе реального решения нет.

2. Получение серебряного припоя из серебра 925 пробы и латуни-63

То есть, на 1 г серебра 925 пробы нужно добавить 0,175 г латуни и 0,059 г цинка. (Надо заметить, что латунь бывает разная по составу, и этот состав нужно точно знать, чтобы использовать в расчетах.)

3. Получение золотого припоя 750 пробы из припоя 585 и золота 958

При выборе n=1 и m=3 получаем корректный результат:

4. Пример с нулевым определителем

Выбрав n=1 и m=2, получаем D=0 и отсутствие решения:

Заменив m на m=3, получим приемлемый результат:

Способы расчетов

• Вычисления «столбиком» и при помощи калькулятора здесь весьма затруднительны из-за большого количества арифметических действий.
• Можно воспользоваться электронными таблицами, с особой внимательностью занеся в нужные ячейки нужные значения и формулы, однако, вероятность ошибки остается высокой.
• Как и прежде, можно заставить кого-нибудь посчитать, но, скорее всего, придется уже либо платить деньги, либо применять насилие.
• Лучше всего — использовать программу Alloy, в которой уже реализован приведенный здесь алгоритм вычислений, и вам останется только ввести исходные значения и нажать кнопку «Вычислить».

Похожие записи

• 

  Простое повышение / понижение пробы

• 

  Изменение состава сплава

• 

  Расчет состава нового сплава