Геометрия круга

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..


Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.Круг и его части

  • Окружность — линия, ограничивающая круг.
  • Дуга — часть окружности.
  • Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
  • Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
  • Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
  • Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

 


Интересующие нас величины и их обозначения:

  • R — радиус круга (здесь «радиус» — это уже не отрезок, а его длина);Сегмент круга
  • D — диаметр круга — двойной радиус;
  • C — длина окружности;
  • L — длина дуги;
  • X — длина хорды;
  • H — высота сегмента;
  • φ — центральный угол — угол между двумя радиусами;
  • S — площадь круга;
  • S_sect — площадь сектора;
  • S_segm — площадь сегмента.

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

  • Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
  • Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
  • Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.


1. Даны диаметр D и длина дуги L

alpha~=~L/D;     длина хорды X~=~D~*~sin alpha;
высота сегмента H~=~D~*~{1~-~cos alpha}/2;    центральный угол varphi~=~alpha~*~{360/pi}.


2. Даны диаметр D и длина хорды X

alpha~=~arcsin X/D;     длина дуги L~=~D~*~alpha;
высота сегмента H~=~D~*~{1~-~cos alpha}/2;    центральный угол varphi~=~alpha~*~ {360/pi}.

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол alpha_1~=~pi~-~alpha.


3. Даны диаметр D и центральный угол φ

alpha~=~varphi~*~{pi/360};     длина дуги L~=~D~*~alpha;
длина хорды X~=~D~*~sin alpha;    высота сегмента H~=~D~*~{1~-~cos alpha}/2.


4. Даны диаметр D и высота сегмента H

alpha~=~arccos(1~-~{{2H}/D});     длина дуги L~=~D~*~alpha;
длина хорды X~=~D~*~sin alpha;    центральный угол varphi~=~alpha~*~{360/pi}.


6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

alpha~=~varphi~*~{pi/360};     диаметр D~=~L/alpha;
длина хорды X~=~D~*~sin alpha;    высота сегмента H~=~D~*~{1~-~cos alpha}/2.


8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

alpha~=~varphi~*~{pi/360};     длина дуги L~=~X~*~alpha/{sin alpha};
диаметр D~=~L/alpha;    высота сегмента H~=~D~*~{1~-~cos alpha}/2.


9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

alpha~=~2~*~arctg~{2H}/X;     длина дуги L~=~X~*~alpha/{sin alpha};
диаметр D~=~L/alpha;    центральный угол varphi~=~alpha~*~{360/pi}.


10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

alpha~=~varphi~*~{pi/360};     диаметр D~=~{2 H}/{1~-~cos alpha};
длина дуги L~=~D~*~alpha;    длина хорды X~=~D~*~sin alpha.


Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X
7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
L~*~sin alpha~=~X~*~alpha; — в варианте 5
L~*~(1~-~cos alpha)~=~2 H~*~alpha; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем Segment. Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.


Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности C~=~pi~*~D;
площадь круга S~=~pi~*~D^2/4;
площадь сектора S_sect~=~S~*~{varphi/360};
площадь сегмента S_segm~=~S_sect~-~{X~*~D~*~cos alpha}/4;


И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

Программа Segment

Обсуждение (37)
  1. андрей:

    в примере номер 9 подставляю значения, условно допуская, что диаметр окружности равен 2 (то есть хорда) и соответственно высота сегмента 1, ни как ни получается длинна окружности 3.14. Можете расписать на этом примере подробнее. Необходимо для работы что бы на практике согнуть дуги зная основания и высоту. Спасибо.

    • В вашем случае длина окружности и не должна быть 3,14, она должна быть 6,28. Длина окружности — это диаметр, умноженный на пи.
      А чтобы не считать вручную, советую вам скачать программу Segment. Она как раз и вычисляет все варианты, описанные в статье.

    • Вот что мне еще пришло в голову. Возможно, вы случайно длиной окружности назвали длину дуги, которая у вас как раз и должна быть 3,14.
      А если из формул этого не получается, то ошибка наиболее вероятна в том, что арктангенс надо брать не в градусах, а в радианах.
      Если вы из какой-то таблицы находите арктангенс в градусах, то умножьте его на пи и разделите на 180.

  2. Игорь:

    Возмутительно! Вот правильная формула ХОРДА=Д*sin(A/2)

    • Сдается мне, что Вы погорячились с возмущением. Если под А Вы подразумеваете центральный угол, то в моих формулах альфа обозначает как раз половину центрального угла.
      Будучи измеренной в радианах, самостоятельного смысла она не несет, а служит некоторой универсальной величиной для вычисления всех остальных параметров (в последнем абзаце перед рассмотрением вариантов об этом как раз говорится).

      • Для ортодоксальных математиков нужно где-то добавить формулу фи = два альфа)))

        • Спасибо за замечание, но это не совсем так. Фи — это два альфа, умноженное на 180 и деленное на пи (фи измеряется в градусах для удобства его практического применения, в отличие от альфа, который измеряется в радианах и служит просто промежуточной величиной в вычислениях). А эта формула (или обратная ей) присутствует в каждом из вариантов.

  3. владимир:

    задачи 5 и 7:
    Добавим P. P — это гипотенуза треугольника с катетами H и X/2. длину P можно найти по теореме Пифагора, зная H и X. Так вот: треугольник со сторонами P, H и X/2 подобен треугольнику со сторонами P, D, Pk, где D — это диаметр, который тут будет гипотенузой, а Pk есть катет проведённый из P до конца D. Вот и получается, что D относится к P, как P относится к Н, значит D=P^2/H. Теперь тот случай, когда Н не дано. 2*P=Х+0.75(L-X). Гипотенуза теперь есть -> Н ищем по теореме Пифагора, а можно по формуле: корень(3)/8 * (корень((L-X)(3L+5X))

    • Спасибо, Владимир, за Ваше решение. Но, честно говоря, я его так и не смог понять. Формулы, в которых у Вас завязаны величины L и X, для меня представляются загадочными. Возможно, это какие-то приближенные формулы, требующие некоторых допущений? Ведь посудите сами: L — это длина кривой (а не отрезка прямой), как же она может участвовать в вычислениях, построенных на подобии треугольников и теореме Пифагора? Или я не прав?

      • владимир:

        Владимир, добрый день, для начала разделите сегмент на две части, получится почти «треугольник», у него вместо гипотенузы выступает полдуги (кривая). Величина же прямой гипотенузы (p) будет равна 0,75L+0,25а (где а — это половина хорды). На эту формулу очень давно первым вышел Гюйгенс. По ней зависимость дуги, хорды и высоты следующая: 64H^2=9L^2+6LX-15X^2. Зная две, всегда можно найти третью, а D=p^2/H. Получится приближенно, но это будет в среднем 0,25% для углов меньше 2радиан, а от 2рад до ПИрад примерно 1,5%, в предельном значении 3%, но это уже при полном развороте, но там не надо уже :).

        • Я так и думал: это из приближенной формулы Гюйгенса для длины дуги. Вы назвали фамилию, и я вспомнил, что когда-то даже пользовался ею. Но потом из соображений лени написал программу на все случаи жизни в сегменте, чтобы больше никогда не мучить себя и калькулятор. Она вычисляет эти два варианта с большой точностью, используя итерационный алгоритм.
          Еще раз спасибо за предложенное решение.

    • Петр:

      Мутновато с подобием. Каким образом второй треугольник P:D:Pk оказался прямоугольным? Разве угол между Р и Рк прямой? Подобны треугольники P:H:X/2 и Pk:(D-H):X/2.

      • Поскольку Владимир, автор предложенного решения, вряд ли Вам ответит, то отвечу я.
        С подобием там все в порядке: оно следует из того факта, что вписанный в окружность угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу. Как это доказывается, уже не помню, но из этого как раз следует, что угол, опирающийся на концы диаметра, — всегда прямой.

  4. Анатолий:

    Как найти центральный угол или его половину по известной площади сегмента и радиусу окружности

    • Площадь сегмента через радиус окружности и половину центрального угла:
      S = R^2 * (A — sin A * cos A)
      При помощи формул найти отсюда А не получится, поэтому надо либо написать программку для решения этого уравнения, либо искать какие-то приближенные формулы для площади сегмента.

  5. Михаил:

    как найти высоту сегмента зная только радиус и площадь сегмента?

    • Вы, случаем, не из одного учебного заведения с автором предыдущего комментария? Уж очень похожие у вас задачи.
      1. Высота сегмента через радиус окружности и половину центрального угла:
      H = R * (1 — cos A)
      2. A находится из уравнения, приведенного мною в ответе на предыдущий комментарий.
      3. Аналитически это уравнение не решается, и надо воспользоваться каким-то математическим методом программирования.
      4. За скромную сумму размером, скажем, в мою месячную пенсию я готов для Вас такую программу написать.

  6. Михаил:

    Точность решения для меня не важна, поэтому задачу я решил в автокаде подгонкой под ответ -)).
    А задача на производстве ставится следующая.
    Есть ленточный конвейер. Лента сворачивается в U-образный лоток (на загрузке), потом вообще сворачивается в трубу ф120 мм. На разгрузке соответственно лента разворачивается.
    Принимаем условно, что лента в свернутом в трубу состоянии заполнена в сечении на 70% от общего. Необходимо найти расстоянии от горизонтальной оси до верхней точки перемещаемого сыпучего материала. В автокаде подгонкой площади я получил приблизительно 19 мм.

    • Рад, что Вы справились со своей задачей. Программные методы решения — это по сути тоже подгонка (последовательные приближения), только более быстрая и точная.
      Надеюсь, что Вы не в обиде на меня за иронию (пункт 4).
      Удачи!

  7. Михаил:

    Ни в коем случае не в обиде.
    А по поводу програмки…щас под рукой нет компилятора Бэйсика. В юности увлекался программированием. Наверное, немного помучившись смог бы сейчас написать простенькую программку по подбору Альфа из предложенной вами формулы. В общем сделал пока что это вручную. В любом случае спасибо за указанное направление в решении задачи.

    • Вот здесь можно скачать бесплатный продукт Microsoft под названием Visual Basic 2010 Express. Если есть опыт программирования, то за несколько дней разберетесь. Там хорошая справочная система, плюс много информации на разных программистских форумах.

  8. Михаил:

    Есть такая программа AutoCad.
    С помощью нее эта задача решается очень быстро. Создается изменяемый усеченный круг, а рядом поле с числовым значением площади. Тяну мышкой вниз хорду и значение площади в числовом поле динамически изменяется.

    • Дмитрий:

      Можете скинуть файл, посмотреть? Сам работаю в автокаде и его возможности в этом плане кажутся неудовлетворительными. Например нельзя задать постоянную длину дуги в параметризации, а эта программа всё это высчитывает.

      • Дмитрий, простите, что вмешиваюсь, но Михаил вряд ли сможет Вам ответить, он просто не получит Вашего вопроса. Уведомления о новых комментариях к статье получаю только я. (А здесь размещаются именно комментарии к статье, но не форум.)

  9. Михаил:

    Так что можно подогнать под любые процентные соотношения в течении минуты.

  10. студент:

    Здравствуйте, у меня такой вопрос как мне определить высоту сегмента (хорды) имея только радиус и длину хорды? никаких углов не известно и длину дуги не знаю((

  11. Дмитрий:

    Благодарю за программу. Выручает.

  12. Виталий:

    Хочу вычислить высоту сегмента в произвольном месие. Т.е. длину перпендикуляра от хорды до дуги. Не подскажете, какие изменения внести в формулу вычисления высоты сегмента?

    • Боюсь, что никакие изменения в формуле здесь не помогут.
      Я бы искал решение так: взял бы формулу окружности с центром в начале координат, нашел бы из нее функцию Y от X и отнял бы от нее константу, равную координате хорды по оси Y. В результате получил бы расстояние от хорды до дуги по оси Y в произвольной точке X.

  13. Алексей:

    Подскажите пожалуйста, как мне вычеслить радиус если из данных только длинна хорды (4130 мм) и высота сегмента (1200 мм) ??? Спасибо

  14. Не поможете с такой задачкой: на чертовом колесе расстояние между кабинками 3 пи. Сколько кабинок?
    Спасибо

  15. Евгений:

    В примере 6 содержится ошибка. Длина хорды вычисляется по формуле X = D*COS(α)!

    • Скорее всего, под «альфа» Вы подразумеваете что-то другое. В моих формулах альфа — это половина центрального угла. Так что ошибки нет. Надо просто внимательнее читать.

Поделитесь своим мнением
Для оформления сообщений Вы можете использовать следующие тэги:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>