Выкройка для конуса

Эскизы конусов и выкроек для нихВместо слова «выкройка» иногда употребляют «развертка», однако этот термин неоднозначен: например, разверткой называют инструмент для увеличения диаметра отверстия, и в электронной технике существует понятие развертки. Поэтому, хоть я и обязан употребить слова «развертка конуса», чтобы поисковики и по ним находили эту статью, но пользоваться буду словом «выкройка».

Построение выкройки для конуса — дело нехитрое. Рассмотрим два случая: для полного конуса и для усеченного. На картинке (кликните, чтобы увеличить) показаны эскизы таких конусов и их выкроек. (Сразу замечу, что речь здесь пойдет только о прямых конусах с круглым основанием. Конусы с овальным основанием и наклонные конусы рассмотрим в следующих статьях).


1. Полный конус

Обозначения:

  • D — диаметр основания конуса;
  • H — высота конуса;
  • R — радиус дуги выкройки;
  • alpha — центральный угол выкройки.

Параметры выкройки рассчитываются по формулам:
R~=~k~*~{D/2};
alpha~=360/k;
где k~=~sqrt{1~+~(2*H/D)^2}.


2. Усеченный конус

Обозначения:

  • D_1 — диаметр большего основания конуса;
  • D_2 — диаметр меньшего основания конуса;
  • H — высота конуса;
  • R_1 — радиус внешней дуги выкройки;
  • R_2 — радиус внутренней дуги выкройки;
  • alpha — центральный угол выкройки.

Формулы для вычисления параметров выкройки:
R_1~=~k~*~{D_1/2};
R_2~=~k~*~{D_2/2};
alpha~=360/k;
где k~=~sqrt{1~+~(2*H/{D_1-D_2})^2}.
Заметим, что эти формулы подойдут и для полного конуса, если мы подставим в них D_2~=~0.


3. Угол при вершине конуса

Угол при вершине конусаИногда при построении конуса принципиальным является значение угла при его вершине (или при мнимой вершине, если конус усеченный). Самый простой пример — когда нужно, чтобы один конус плотно входил в другой. Обозначим этот угол буквой varphi (см. картинку).
В этом случае мы можем его использовать вместо одного из трех входных значений: D_1, D_2 или H. Почему «вместо«, а не «вместе«? Потому что для построения конуса достаточно трех параметров, а значение четвертого вычисляется через значения трех остальных. Почему именно трех, а не двух и не четырех — вопрос, выходящий за рамки этой статьи. Таинственный голос мне подсказывает, что это как-то связано с трехмерностью объекта «конус». (Сравните с двумя исходными параметрами двухмерного объекта «сегмент круга», по которым мы вычисляли все остальные его параметры в статье Геометрия круга.)

Ниже приведены формулы, по которым определяется четвертый параметр конуса, когда заданы три.

  • Заданы D_1,~D_2,~H; тогда varphi~=~2*arctg{D_1~-~D_2}/{2*H}.
  • Заданы D_1,~H,~varphi; тогда D_2~=~D_1~-~2*H*tg{varphi/2}.
  • Заданы D_2,~H,~varphi; тогда D_1~=~D_2~+~2*H*tg{varphi/2}.
  • Заданы D_1,~D_2,~varphi; тогда H~=~{D_1~-~D_2}/{2*tg{varphi/2}}.

4. Методы построения выкройки

  • Вычислить значения на калькуляторе и построить выкройку на бумаге (или сразу на металле) при помощи циркуля, линейки и транспортира.
  • Занести формулы и исходные данные в электронную таблицу (например, Microsoft Exel). Полученный результат использовать для построения выкройки при помощи графического редактора (например, CorelDRAW).
  • использовать мою программу Cones, которая нарисует на экране и выведет на печать выкройку для конуса с заданными параметрами. Эту выкройку можно сохранить в виде векторного файла и импортировать в CorelDRAW.

Обсуждение (28)
  1. Лия:

    Спасибо! Ваши расчеты очень пригодились! Так просто и прекрасно!

  2. «Заданы D_1,~D_2,~varphi; тогда H~=~{D_1~-~D_2}/{2*H*tg{varphi/2}}.» ошибка. в знаменателе не должно быть Н, с точки зрения математики получается неопределенная система, а с точки зрения физики безразмерная величина…..

    • Большое спасибо за замечание! Конечно же, H в знаменателе там затесалась по ошибке. Опечатка при публикации.
      Исправил.
      Все-таки хорошо, что есть на свете внимательные читатели!

  3. Ирина:

    Владимир, спасибо, Вы очень мне помогли. Строю сейчас выкройку усеченного конуса для пошива чехла для фритюрницы. Лишний раз убеждаюсь, как важно было хорошо учиться в школе. Пришлось воспользоваться формулами, а программа Ваша мне в помощь.
    Благодарю!

    • Ирина, спасибо за отзыв. Ставлю Вам «пять» по русскому языку. (И это почти не шутка: по нынешним временам четыре строки текста без единой ошибки — великая редкость.)

      • Ирина:

        Спасибо за пятерку. Признаться, не ожидала, но приятно.
        Сегодня я поняла еще, что в школе надо было учить не только русский, но и математику!

  4. Владимир благодарю за помощь.Нужен был конус с заданной высотой и основанием.Все получилось как надо.Спасибо.

  5. Геннадий:

    Спасибо! Просто и ясно!

    • Пожалуйста! Я вместе с Вами не перестаю удивляться, насколько простота математических соотношений, преподаваемых в школе, оказывается недоступной такому огромному количеству людей. И даже это было бы не так удивительно, если бы такие вещи, как геополитика, реинкарнация душ и энергоинформационное поле не были бы понятны абсолютно для всех.
      Простите за отклонение от темы.

      • Александр:

        Володя,перешерстил весь интернет безуспешно.Мне нужно знать угол конуса шаровой опоры и рулевых наконечников ВАЗ 2108-2112,под них я буду увеличивать конуса на квадроцикле.Для этого мне нужно подобрать развертку,шарошку или еще какой либо инструмент с подходящим углом конуса.Может быть у вас есть готовое решение моей как оказалось великой проблемы,поотсылал запросы куда только смог а в ответ тишина!!!!!!Заранее благодарен за помощ.

        • Александр, к сожалению, я не владею такой информацией и вообще крайне далек от автомобильной тематики. Ничем не могу помочь, простите.

  6. Den:

    Спасибо! Очень практично и толково разложено!
    Кто может помочь так же эффективно разобраться с правильными пирамидами? Буду весьма признателен!)))
    Есть такая же универсальная формула?

    • Постараюсь подготовить статейку про пирамиды, но как скоро — пока не знаю: как всегда, много работы.
      Подпишитесь на новости сайта, и будете получать письма о появлении новых материалов на сайте.

  7. Олег:

    Огромное спасибо! Просто и быстро!!! Все гениальное просто!

  8. Евгений:

    «Занести формулы и исходные данные в электронную таблицу (например, Microsoft Exel). Полученный результат использовать для построения выкройки при помощи графического редактора (например, CorelDRAW).» — интересует именно этот вариант изготовления шаблона, но так и не понял куда в *.exl заносить эти данные что бы получить графический результат?

  9. Евгений:

    в Corel Draw?

    • Этот вариант не предполагает автоматического построения выкройки. Занесение формул в ячейки электронной таблицы лишь облегчает вычисление параметров. Но затем при помощи полученных значений выкройка строится «вручную» в CorelDraw. Например, рисуется сектор радиусом R2 и углом альфа, а затем из него вычитается круг радиусом R1 с центром в той же точке.

  10. Руслан Пузырь:

    Спасибо, Владимир! Благодаря вашим формулам сделали с дочкой гламурненькую шляпку-заколку. Все просто и доходчиво. Действительно, порой прсто забываешь, что это школьный курс геометрии. Но тогда, в школе, это навязывалось, а сейчась только пригодилось. Знать-это еще пол-дела, а вот объяснить могут не все. Удачи Вам.

  11. Сергей:

    Спасибо.

  12. Алина:

    Спасибо Вам большое за подробное изложение, но даже с этим материалом уже не одну страницу формулами и выкладками исписала, но не получается решить производную от этой задачи. Может быть Вы будете добры и подскажете направление?
    Усеченный конус в моей прикладной задаче — это купол юбки. Известны обхват талии (периметр верхнего основания) и длина юбки (длина образующей). Необходимо построить развертку конуса таким образом, чтобы половина этой развертки разместилась ровно по заданной ширине ткани (то есть задано расстояние между нижними «углами» половинки выкройки). Увы, картинку прикрепить нельзя, а описание точнее не получается.
    Буду благодарна за помощь.

  13. демид:

    спасибо за развертки.а не могли бы подсказать как наклонный усеченный конус рассчитать,хочу для печной трубы защиту поставить.Заранее спасибо.

Поделитесь своим мнением
Для оформления сообщений Вы можете использовать следующие тэги:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>