Выкройка для конуса

Эскизы конусов и выкроек для нихВместо слова «выкройка» иногда употребляют «развертка», однако этот термин неоднозначен: например, разверткой называют инструмент для увеличения диаметра отверстия, и в электронной технике существует понятие развертки. Поэтому, хоть я и обязан употребить слова «развертка конуса», чтобы поисковики и по ним находили эту статью, но пользоваться буду словом «выкройка».

Построение выкройки для конуса — дело нехитрое. Рассмотрим два случая: для полного конуса и для усеченного. На картинке (кликните, чтобы увеличить) показаны эскизы таких конусов и их выкроек. (Сразу замечу, что речь здесь пойдет только о прямых конусах с круглым основанием. Конусы с овальным основанием и наклонные конусы рассмотрим в следующих статьях).


1. Полный конус

Обозначения:

  • D — диаметр основания конуса;
  • H — высота конуса;
  • R — радиус дуги выкройки;
  • alpha — центральный угол выкройки.

Параметры выкройки рассчитываются по формулам:
R~=~k~*~{D/2};
alpha~=360/k;
где k~=~sqrt{1~+~(2*H/D)^2}.


2. Усеченный конус

Обозначения:

  • D_1 — диаметр большего основания конуса;
  • D_2 — диаметр меньшего основания конуса;
  • H — высота конуса;
  • R_1 — радиус внешней дуги выкройки;
  • R_2 — радиус внутренней дуги выкройки;
  • alpha — центральный угол выкройки.

Формулы для вычисления параметров выкройки:
R_1~=~k~*~{D_1/2};
R_2~=~k~*~{D_2/2};
alpha~=360/k;
где k~=~sqrt{1~+~(2*H/{D_1-D_2})^2}.
Заметим, что эти формулы подойдут и для полного конуса, если мы подставим в них D_2~=~0.


3. Угол при вершине конуса

Угол при вершине конусаИногда при построении конуса принципиальным является значение угла при его вершине (или при мнимой вершине, если конус усеченный). Самый простой пример — когда нужно, чтобы один конус плотно входил в другой. Обозначим этот угол буквой varphi (см. картинку).
В этом случае мы можем его использовать вместо одного из трех входных значений: D_1, D_2 или H. Почему «вместо«, а не «вместе«? Потому что для построения конуса достаточно трех параметров, а значение четвертого вычисляется через значения трех остальных. Почему именно трех, а не двух и не четырех — вопрос, выходящий за рамки этой статьи. Таинственный голос мне подсказывает, что это как-то связано с трехмерностью объекта «конус». (Сравните с двумя исходными параметрами двухмерного объекта «сегмент круга», по которым мы вычисляли все остальные его параметры в статье Геометрия круга.)

Ниже приведены формулы, по которым определяется четвертый параметр конуса, когда заданы три.

  • Заданы D_1,~D_2,~H; тогда varphi~=~2*arctg{D_1~-~D_2}/{2*H}.
  • Заданы D_1,~H,~varphi; тогда D_2~=~D_1~-~2*H*tg{varphi/2}.
  • Заданы D_2,~H,~varphi; тогда D_1~=~D_2~+~2*H*tg{varphi/2}.
  • Заданы D_1,~D_2,~varphi; тогда H~=~{D_1~-~D_2}/{2*tg{varphi/2}}.

4. Методы построения выкройки

  • Вычислить значения на калькуляторе и построить выкройку на бумаге (или сразу на металле) при помощи циркуля, линейки и транспортира.
  • Занести формулы и исходные данные в электронную таблицу (например, Microsoft Exel). Полученный результат использовать для построения выкройки при помощи графического редактора (например, CorelDRAW).
  • использовать мою программу Cones, которая нарисует на экране и выведет на печать выкройку для конуса с заданными параметрами. Эту выкройку можно сохранить в виде векторного файла и импортировать в CorelDRAW.

Обсуждение (20)
  1. Лия:

    Спасибо! Ваши расчеты очень пригодились! Так просто и прекрасно!

  2. «Заданы D_1,~D_2,~varphi; тогда H~=~{D_1~-~D_2}/{2*H*tg{varphi/2}}.» ошибка. в знаменателе не должно быть Н, с точки зрения математики получается неопределенная система, а с точки зрения физики безразмерная величина…..

    • Большое спасибо за замечание! Конечно же, H в знаменателе там затесалась по ошибке. Опечатка при публикации.
      Исправил.
      Все-таки хорошо, что есть на свете внимательные читатели!

  3. Ирина:

    Владимир, спасибо, Вы очень мне помогли. Строю сейчас выкройку усеченного конуса для пошива чехла для фритюрницы. Лишний раз убеждаюсь, как важно было хорошо учиться в школе. Пришлось воспользоваться формулами, а программа Ваша мне в помощь.
    Благодарю!

    • Ирина, спасибо за отзыв. Ставлю Вам «пять» по русскому языку. (И это почти не шутка: по нынешним временам четыре строки текста без единой ошибки — великая редкость.)

      • Ирина:

        Спасибо за пятерку. Признаться, не ожидала, но приятно.
        Сегодня я поняла еще, что в школе надо было учить не только русский, но и математику!

  4. Владимир благодарю за помощь.Нужен был конус с заданной высотой и основанием.Все получилось как надо.Спасибо.

  5. Геннадий:

    Спасибо! Просто и ясно!

    • Пожалуйста! Я вместе с Вами не перестаю удивляться, насколько простота математических соотношений, преподаваемых в школе, оказывается недоступной такому огромному количеству людей. И даже это было бы не так удивительно, если бы такие вещи, как геополитика, реинкарнация душ и энергоинформационное поле не были бы понятны абсолютно для всех.
      Простите за отклонение от темы.

      • Александр:

        Володя,перешерстил весь интернет безуспешно.Мне нужно знать угол конуса шаровой опоры и рулевых наконечников ВАЗ 2108-2112,под них я буду увеличивать конуса на квадроцикле.Для этого мне нужно подобрать развертку,шарошку или еще какой либо инструмент с подходящим углом конуса.Может быть у вас есть готовое решение моей как оказалось великой проблемы,поотсылал запросы куда только смог а в ответ тишина!!!!!!Заранее благодарен за помощ.

        • Александр, к сожалению, я не владею такой информацией и вообще крайне далек от автомобильной тематики. Ничем не могу помочь, простите.

  6. Den:

    Спасибо! Очень практично и толково разложено!
    Кто может помочь так же эффективно разобраться с правильными пирамидами? Буду весьма признателен!)))
    Есть такая же универсальная формула?

    • Постараюсь подготовить статейку про пирамиды, но как скоро — пока не знаю: как всегда, много работы.
      Подпишитесь на новости сайта, и будете получать письма о появлении новых материалов на сайте.

  7. Олег:

    Огромное спасибо! Просто и быстро!!! Все гениальное просто!

  8. Евгений:

    «Занести формулы и исходные данные в электронную таблицу (например, Microsoft Exel). Полученный результат использовать для построения выкройки при помощи графического редактора (например, CorelDRAW).» — интересует именно этот вариант изготовления шаблона, но так и не понял куда в *.exl заносить эти данные что бы получить графический результат?

  9. Евгений:

    в Corel Draw?

    • Этот вариант не предполагает автоматического построения выкройки. Занесение формул в ячейки электронной таблицы лишь облегчает вычисление параметров. Но затем при помощи полученных значений выкройка строится «вручную» в CorelDraw. Например, рисуется сектор радиусом R2 и углом альфа, а затем из него вычитается круг радиусом R1 с центром в той же точке.

Поделитесь своим мнением
Для оформления сообщений Вы можете использовать следующие тэги:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>