Масса сплошной детали

Это странное название статьи объясняется только тем, что детали одной и той же формы могут быть как сплошными, так и полыми (т.е. следующая статья будет называться «Масса полой детали»).

Тут самое время вспомнить, что масса тела — это его объем V, умноженный на плотность его материала rho (см. таблицы плотностей):
m~=~V~*~rho
Объем сплошной детали — это… ее объем и больше ничего.

Примечание. В приведенных ниже формулах все размеры измеряются в миллиметрах, а плотность — в граммах на кубический сантиметр.
Буквой pi обозначено отношение длины окружности к ее диаметру, составляющее примерно 3,14.

Рассмотрим несколько простых форм (более сложные, как вы помните, можно составить путем сложения или вычитания простых).


1. Масса параллелепипеда (бруска)

ПараллелепипедОбъем параллелепипеда: V~=~W~*~H~*~L, где L — длина, W — ширина, H — высота.
Тогда масса:

m~=~{{W~*~H~*~L}/1000}~*~rho

2. Масса цилиндра

ЦилиндрОбъем цилиндра: V~=~pi~*~{D^2/4}~*~H, где D — диаметр основания, H — высота цилиндра.
Тогда масса:

m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/4000}~*~rho

3. Масса шара

шарОбъем шара: V~=~pi~*~{D^3/6}, где D — диаметр шара.
Тогда масса:

m~=~{{pi~*~D^3}/6000}~*~rho

4. Масса сегмента шара

сегмент шараОбъем сегмента шара: V~=~{1/6}pi*H*(H^2+~{3/4}D^2), где D — диаметр основания сегмента, H — высота сегмента.
Тогда масса:

m~=~{{pi~*~H~*~(4H^2+~3D^2)}/24000}~*~rho

5. Масса конуса

КонусОбъем любого конуса: V~=~{1/3}S*H, где S — площадь основания, H — высота конуса.
Для круглого конуса: V~=~{1/12}pi*D^2*H, где D — диаметр основания, H — высота конуса.
Масса круглого конуса:

m~=~{{pi~*~D^2~*~H}/12000}~*~rho

6. Масса усеченного конуса

Усеченный конусПоскольку невозможно объять необъятное, рассмотрим только круглый усеченный конус. Его объем — это разность объемов двух вложенных конусов: с основаниями D1 и D2: V~=~{1/12}pi*(D1^2*H1~-~D2^2*H2), где H1~=~H*{D1/{D1-D2}}, H2~=~H*{D2/{D1-D2}}. После никому не интересных алгебраических преобразований получаем:
V~=~{1/12}pi*H*(D1^2+D1*D2+D2^2), где D1 — диаметр большего основания, D2 — диаметр меньшего основания, H — высота усеченного конуса.
Отсюда масса:

m~=~{{pi~*~H~*~(D1^2~+~D1*D2~+~D2^2)}/12000}~*~rho

7. Масса пирамиды

ПирамидаОбъем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту (то же самое, что и для конусов (часто мы не замечаем, насколько мироздание к нам благосклонно)): V~=~{1/3}S*H, где S — площадь основания, H — высота пирамиды.
Для пирамиды с прямоугольным основанием: V~=~{1/3}W*L*H, где W — ширина, L — длина, H — высота пирамиды.
Тогда масса пирамиды:

m~=~{{W~*~L~*~H}/3000}~*~rho

8. Масса усеченной пирамиды

Усеченная пирамидаРассмотрим усеченную пирамиду с прямоугольным основанием. Ее объем — это разность объемов двух подобных пирамид с основаниями W1*L1 и W2*L2: V~=~{1/3}W1*L1*H1~-~{1/3}W2*L2*H2, где H1~=~H*{W1/{W1-W2}}, H2~=~H*{W2/{W1-W2}}.
Исчеркав половину тетрадного листа, получаем: V~=~{1/3}H*~{{W1^2L1~-~W2^2L2}/{W1~-~W2}}, где W1, L1 — ширина и длина большего основания, W2, L2 — ширина и длина меньшего основания, H — высота пирамиды.
И, оставив в покое остальную половину листа, исходя из одних соображений симметрии, мы можем написать еще одну формулу, которая отличается от предыдущей только заменой W на L и наоборот. В чем разница между длиной и шириной? Только в том, что мы их так назвали. Назовем наоборот и получим: V~=~{1/3}H*~{{L1^2W1~-~L2^2W2}/{L1~-~L2}}.
Тогда масса усеченной прямоугольной пирамиды:

m~=~{{W1^2L1~-~W2^2L2}/{W1~-~W2}}~*~{H~*~rho}/3000

или

m~=~{{L1^2W1~-~L2^2W2}/{L1~-~L2}}~*~{H~*~rho}/3000

Для пирамиды с квадратным основанием (W1=L1=A1, W2=L2=A2) формула выглядит проще:

m~=~(A1^2~+~A1A2~+~A2^2)~*~{H~*~rho}/3000

Обсуждение (22)
  1. Сергей:

    Добрый день!
    Насколько я понимаю, тут не хватает метки: «Вычисленеи массы»?

  2. Иван:

    Помогите пожалуйста ,перелазил весь интернет .Как найти массу зная плотность медного шара и давление шара на стол

    • Давление — это сила (в Вашем случае — вес шара) на единицу площади соприкосновения. Загвоздка в этой площади: в идеальном случае (для абсолютно твердых шара и стола) она — точка, то есть имеет нулевой размер. Похоже, что надо бы иметь какие-то дополнительные данные о пластичности шара и стола.
      Это всё, что я могу сказать по этому поводу, простите, что мало.

  3. Бекп:

    Чтобы вымыть посуду, мальчик налил в таз 3 л воды, температура которой равна 10°С. Сколько литров кипятка (при 100°С) нужно долить в таз, чтобы температура воды в нем стала равной 50°С?

  4. Кирилл:

    Спасибо за сайт! Но мне лично не хватает разбора, какая переменная в каких единицах измеряется для каждого случая. К примеру масса шара — m — это кг или гр?
    Что такое 6000 на которое происходило деление? И т.д.
    Подробностей не хватает.)

    • В начале каждой статьи этой рубрики специально размещено примечание, в котором указано, в каких единицах измеряются величины (там просто неоткуда взяться килограммам).
      Числа, как правило, стоящие в знаменателе каждой из формул, получаются в результате «сведения» всех чисел, участвовавших в их получении: геометрических коэффициентов и перевода кубических сантиметров в кубические миллиметры.
      Подробности получения формул не вижу смысла публиковать:
      — они будут загромождать текст;
      — если человек хочет получить получить массу детали, подробности его не интересуют;
      — задача настолько тривиальная, что даже стыдно пояснять ее решение.

  5. Артем Викторович:

    Думаю для начинающий здесь еще не хватает размерности в начале статьи добавить.

  6. Анастасия:

    помогите пожалуйста, я знаю высоту цилиндра, его материал,площадь поперечного сечения. Как найти массу?

    • Площадь сечения умножить на высоту и умножить на плотность материала. Только будьте внимательны с единицами измерения. Плотность обычно измеряется в граммах на кубический сантиметр. Поэтому линейные размеры должны быть в сантиметрах, а площади — в квадратных сантиметрах. Если они у Вас измерены в миллиметрах, то результат нужно разделить на тысячу.

  7. Дарья:

    Помогите пожалуйста.Как найти массу зная плотность и вес тела?

    • Даже не знаю, с чего начать, настолько удивительный Вы задали вопрос. Если вы знаете плотность тела, то второй величиной для вычисления массы должен служить его объем. Плотность умножить на объем — получится масса. И вес тут не при чем.
      Если же известен вес тела на поверхности Земли в кГ, то масса его составит столько же кг. Если вес известен в ньютонах, то нужно разделить его на 9,8, чтобы получить килограммы. Тогда плотность тут не при чем.
      Судя по Вашему вопросу, моё объяснение тоже мало чем Вам поможет. Лучше всего возьмите учебник физики и постарайтесь вникнуть в понятия силы, веса, массы и плотности.

  8. Виктория:

    Здравсвуйте! Не понимаю, как можно найти массу тела,зная только плотность этого тела?
    Вот: деревянный боусок полностью погрузили в сосуд со спиртом. Нужно узнать, будет ли он тонуть. Дано: плотность дерева 800 кг/м3, плотность спирта 800 кг/м3.
    Для этого же нужно найти Силу тяжести и Архимедову силу, но для этого нужна масса и объем.
    Что мне делать?

    • Девушки! Одно из двух: или это кто-то надо мной прикалывается, или мне пора открывать платные репетиторские курсы! Я, конечно, польщен вашим доверием, но посмотрите, как называется сайт: «Математика для ювелиров»!
      Последний раз отвечаю на вопрос не в тему.
      1. Найти массу тела, имея только его плотность, — невозможно.
      2. В задаче спрашивается только, будет ли тело тонуть и ничего более.
      3. Достаточно вспомнить, что архимедова сила равна весу жидкости, вытесненной телом. По условию тело полностью погружено в жидкость. Значит, вытесненный им объем жидкости равен его собственному объему. А поскольку плотности тела и жидкости — одинаковы, то и действующие на тело сила тяжести и выталкивающая сила будут равны. Тело не утонет и не всплывет, а будет находиться на той глубине, на которую его поместили.

  9. Дмитрий:

    Подскажите,как вычислить площадь поражения 1предмета,зная массу, высоту падения и площадь другого предмета. Например: с высоты 20 метров на пластиковый стол упала монета (5 руб.) Как узнать на сколько пострадает стол?

    • Прошу больше не задавать в комментариях вопросы, не относящиеся к теме статьи. С этого момента я буду их просто удалять.

      • Анатолий:

        Здравствуйте,Владимир! Простите, что беспокою, но столкнулся с интересным вопросом и надеюсь, что Вы поможете мне его разрешить.Участвуя в сетевой ролевой игре, я для интереса взялся моделировать игровую валюту нашего выдуманного мира (за основу брались, монеты вполне реальные) и столкнулся с таким несоответствием : вот монета диаметр 32,7мм, толщина 2.95мм . По формуле находим ее объем и массу :M= ((3,14*32.72 *2.95)/4000)*19,32= 47,84 грамма То есть золотая монета таких размеров и такой пробы должна весить почти 48 граммов. В реале же в справочнике дается ее вес в 1 унцию (31.1грамм) Эта монета «Американский Бизон». В общем, бился я и так и эдак. Все равно -золотые монеты получаются почему-то в 1,5-1.55 раза тяжелее чем про них пишут, а серебряные примерно в 1,3-1,35 раза. Если сможете,растолкуйте мне,пожалуйста, что я делаю не так? Почему такая большая разница получается? С уважением,Анатолий.

        • Здравствуйте, Анатолий! Единственный источник погрешности я вижу в том, что монета не является идеальным цилиндром, и бОльшая ее часть имеет толщину меньшую, чем толщина гурта, которая, видимо, и указывается в справочниках. В зависимости от рисунка, эта погрешность может быть разной. Например, расчетная масса советского полтинника 1924 года (серебро 900 пробы) отличается от реальной в 1,22 раза, как я только что посчитал. А масса царского медного пятака, очень стертого, — в 1,12 раза.

  10. Анатолий:

    Что ж, спасибо большое Вам! Остается только запонить значения для внесения поправок.

Поделитесь своим мнением
Для оформления сообщений Вы можете использовать следующие тэги:
<a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <s> <strike> <strong>